Question

已知f(x)=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域
（2）求函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入g（x），对g（x）进行求导，利用导数研究函数g（x）在闭区间[0，3]上的最值，从而求解；
（2）对f（x）进行求导，研究其单调性，再对t进行讨论，求出函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．

解答：解：（1）∵已知f(x)=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a，a=2
∴g（x）=

1

2

x2-x+2，可得g′（x）=x-1，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
若x＜1，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
f（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，f（x）_min=f（1）=

1

2

-1+2=

3

2

；
f（0）=2，f（3）=

9

2

-3+2=

7

2

，
∴函数y=g（x）在[0，3]上的值域为[

3

2

，

7

2

]；
（2）∵f′（x）=1+lnx（x＞0），令f′（x）=0，可得x=

1

e

，
若x＞

1

e

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
若0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；t＞0
若0＜t≤

1

e

时，因为区间长度为2，可以取到极小值点x=

1

e

，也是最小值点，
∴f（x）_min=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

；
若t＞

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴综上：若0＜t≤

1

e

，f（x）_min=

1

e

；
若t＞

1

e

时，f（x）_min=tlnt；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题，解题的过程中用到了分类讨论的数学思想，此题是一道中档题；