Question

4．已知函数f（x）=|x-a|，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得绝对值不等式的解集．
（Ⅱ）由不等式f（x）+3x≤0，求得x≤-$\frac{a}{2}$，且x≤$\frac{a}{4}$．分类讨论，根据它的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f（x）=|x-1|≥|x+1|+1，
即|x-1|-|x+1|≥1．
由于|x-1|-|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
由-0.5到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为{x|x≤-0.5}．
（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x-a|+3x≤0，即|x-a|≤-3x（x≤0），
即 3x≤x-a≤-3x，求得 x≤-$\frac{a}{2}$，且x≤$\frac{a}{4}$．
当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤-$\frac{a}{2}$}；再根据它的解集包含{x|x≤-1}，
可得-$\frac{a}{2}$≥-1，求得a≤2，故有0≤a≤2．
当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤$\frac{a}{4}$}；再根据它的解集包含{x|x≤-1}，
可得$\frac{a}{4}$≥-1，求得a≥-4，故有-4≤a＜0．
综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[-4，0）=[-4，2]．

点评 本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．