Question

【题目】已知中，，，以为轴将旋转到，形成三棱锥．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，取的中点及的中点，连接，，，．证明平面，即得，再由平面几何知识得，由可得线面垂直，从而得证线线垂直；

（Ⅱ）作出直线与平面所成的角，通过解三角形求解．

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，取的中点及的中点，连接，，，．则，

∵，∴，由旋转知，

∴二面角的平面角即为，

且，∴平面，

又平面，∴平面平面．

∵，，

∴为正三角形，∴．

∵平面平面，∴平面，

∵平面，∴．

易求得，，，

由，，则，所以，，

所以，从而，

又，∴平面，

∵平面∴．

（Ⅱ）取的中点，连接，，过点作边上的高，垂足为．

∵，又，且为的中点，

∴，，

∵，∴平面．

∵，且平面，∴，

又，∴平面，

∴直线与平面所成的角即为，

由（Ⅰ）可知为正三角形，可知，

则易求得，，

∴，则，

即直线与平面所成角的余弦值为．