Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为bn=2n-1，把已知式中的n换成n-1，两式相减求得a_n=n，经检验对第一项也成立，而得到数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，故

n

i=1

1

aibi

＜

1

1×1

+

1

2×2

+

1

2×22

+…+

1

2•2n-1

=1+

1

2

-(

1

2

)n＜

3

2

．

解答：解：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为bn=2n-1，
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1（n≥2），
两式相减可得an•bn=n•2n-1，即a_n=n．
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N^*，都有a_n=n．
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）证明：由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，
故

n

i=1

1

aibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+

1

3×22

+…+

1

n•2n-1

＜

1

1×1

+

1

2×2

+

1

2×22

+…+

1

2•2n-1

（n≥3）．
∴

n

i=1

1

aibi

＜

1

1

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=1+

1

2

-(

1

2

)n＜

3

2

．
即

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

成立．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，用放缩法证明不等式，属于中档题．