Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n≥S₅=-20，n∈N^*，则数列公差d的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：由S₅=-20得到首项和公差间的关系，代入S_n≥-20得到n（n-5）d≥8（n-5），分类讨论n后即可求得公差d的取值范围．

解答： 解：由S₅=-20，得5a1+

5×4d

2

=-20，
整理得：a₁=-4-2d．
再由Sn=na1+

n(n-1)d

2

≥-20，得：
n(-4-2d)+

n(n-1)d

2

≥-20，
整理得：n（n-5）d≥8（n-5）①
当n=5时，对于任意实数d①式都成立；
当n≤4时，①式化为d≤

8

n

，
当n=4时，

8

n

取最小值2．
∴d≤2；
当n≥6时，①式化为d≥

8

n

，
当n=6时，

8

n

取最大值

4

3

．
∴d≥

4

3

．
综上，d的取值范围是

4

3

≤d≤2．
故答案为：

4

3

≤d≤2．

点评：本题考查等差数列的前n项和，考查了数列的函数图象，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．