Question

已知函数f（x）=

x

x3-3x+a

的定义域为[0，+∞），则实数a的取值范围为（　　）

• A、（0，3）
• B、（0，2）
• C、（2，+∞）
• D、（3，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据函数的定义域，可得分母x≥0时，x³-3x+a≠0，然后利用导数进行求解即可．

解答： 解：∵f（x）=

x

x3-3x+a

的定义域为[0，+∞），
∴当x≥0时，x³-3x+a≠0，
设f（x）=x³-3x+a，f′（x）=3x²-3=3（x²-1），
则当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=a-2，
要使x≥0时，x³-3x+a≠0，
则f（1）=a-2＞0，即可，解得a＞2，
即实数a的取值范围为（2，+∞），
故选：C

点评：本题主要考查函数定义域的应用，根据函数的定义域确定分母不为零，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，综合性较强．