Question

已知S_n是等差数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，且S₈＞S₉＞S₇，有下列四个命题，期中是假命题的是（　　）

• A、公差d＜0
• B、在所有S_n＜0中，S₁₇最大
• C、a₈＞a₉
• D、满足S_n＞0的n的个数有15个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：由已知的不等式S₈＞S₉＞S₇，以及S₉=S₈+a₉，S₈=S₇+a₈，S₉=S₇+a₈+a₉，利用不等式的性质得出a₈，a₉及a₈+a₉的符号，进而再利用等差数列的性质及求和公式对各项进行判断，即可得到正确选项．

解答： 解：∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，故选项A，C为真命题；
∵S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
又∵a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=

15(a1+a15)

2

=15a₈＞0，
又∵a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=

16(a1+a16)

2

=8（a₈+a₉）＞0，
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=

17(a1+a17)

2

=17a₉＜0，
故选项B为真命题，选项D为假命题；
故选：D

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，熟练运用等差数列的性质是解本题的关键．