Question

如图，在△ABC中，

CM

=2

.

BM

，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q．若

.

AP

=m

.

AB

，

.

AQ

=n

.

AC

，则m+n的最小值为（　　）

• A、1+

  2 2

  3

• B、2

  2

• C、3
• D、

  3

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：首先根据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，分别令

1

n

=y，

1

m

=x，f（x）=m+n，得到关于x的函数关系式，在求导，根据导数求最小值．

解答： 解：如图：

∵

BC

=

AC

-

AB

，

CM

=2

.

BM

，
∴

BM

=

1

3

BC

=

1

3

(

AC

-

AB

)
∴

AM

=

AB

+

BM

=

1

3

AC

+

2

3

AB

∵

.

AP

=m

.

AB

，

.

AQ

=n

.

AC

，
∴

AM

=

1

3n

AQ

+

2

3m

AP

∵P，M，Q三点共线，
∴

1

3n

+

2

3m

=1，
令

1

n

=y，

1

m

=x，
∴

y

3

+

2x

3

=1
∴y=3-2x，
∵x＞0，y＞0
∴0＜x＜

3

2

，
令f（x）=m+n=

1

x

+

1

y

=

1

x

+

1

3-2x

，
∴f′（x）=

2

(3-2x)2

-

1

x2

令f′（x）=0，
∴

2

(3-2x)2

=

1

x2

解得，x=

6-3 2

2

，或x=

6+3 2

2

＞

3

2

（舍去）
当x=

6-3 2

2

时，f（x）有最小值，
∴f（x）_min=1+

2 2

3

，
故选：A．

点评：本题考查了向量的几何意义以及三点共线定理以及利用到导数来求函数的最小值问题，是一道综合题目，涉及知识点比较多，考查了化归思想，方程的思想．属于难题．