Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上异于点P的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，且线段AB的中垂线与x轴交于点M，求

|MF|

|AB|

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出P点坐标（x₀，4），由抛物线的定义及点在抛物线上列式求得x₀和p的值，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求得P点坐标，再由∠APB的角平分线与x轴垂直，可知PA，PB的斜率互为相反数，设出两直线方程，分别和抛物线方程联立后得到A，B的纵坐标，代入A，B的斜率公式求得A，B的斜率，然后写出AB所在直线方程，和抛物线方程联立后由弦长公式求得|AB|，借助于AB的中垂线方程求得|MF|，代入

|MF|

|AB|

后整理，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）设P（x₀，4），
∵|PF|=4，由抛物线定义得：x0+

p

2

=4 ①
又4²=2px₀，
∴x0=

8

p

．代入①得，

8

p

+

p

2

=4，解得：p=4．
∴抛物线方程为y²=8x；
（2）由（1）知，P（2，4），
∵∠APB的角平分线与x轴垂直，
∴PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数，
设PA：y-4=k（x-2），k≠0，
联立

y-4=k(x-2) y2=8x

，得y2-

8

k

y-16+

32

k

=0，
则y1+4=

8

k

，即y1=

8

k

-4．
PB：y-4=-k（x-2），
联立

y-4=-k(x-2) y2=8x

，得y2+

8

k

-16-

32

k

=0，
则y2+4=-

8

k

，即y2=-

8

k

-4．
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22 8 - y12 8

=

8

y2+y1

=-1．
设AB：y=-x+b，代入y²=8x，得y²+8y-8b=0．
由△=64+32b＞0，得b＞-2．
又y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∴|AB|=

2

|y1-y2|=

2

(-8)2+4×8b

=8

b+2

．
又AB的中垂线方程为y=x-b-8，
则点M的坐标为（b+8，0），
∴|MF|=6+b．
则

|MF|

|AB|

=

|6+b|

8 b+2

=

1

8

b2+12b+36 b+2

=

1

8

(b+2)+ 16 b+2 +8

≥

1

2

．
当且仅当b=2时取等号．
∴

|MF|

|AB|

的最小值为

1

2

．

点评：本题考查了抛物线的方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了弦长公式的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是压轴题．