Question

如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D-AF-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；
（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．

解答： 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=

3

，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=

3

2

，AF=

AD2+DF2

=

7

2

，
∴CF=

AC2-AF2

=

1

2

，又FE∥CD，
∴

DE

PD

=

CF

PC

=

1

4

，∴DE=

3

4

，同理可得EF=

3

4

CD=

3

4

，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（

3

4

，0，0），F（

3

4

，

3

4

，0），P（

3

，0，0），C（0，1，0）
设向量

m

=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有

m

⊥

AE

，

m

⊥

EF

，
∴

m • AE = 3 4 x-z=0 m • EF = 3 4 y=0

，令x=4可得z=

3

，∴

m

=（4，0，

3

），
由（1）知平面ADF的一个法向量为

PC

=（-

3

，1，0），
设二面角D-AF-E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ=|cos＜

m

，

PC

＞|=

| m • PC |

| m || PC |

=

4 3

19 ×2

=

2 57

19

∴二面角D-AF-E的余弦值为：

2 57

19

点评：本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．