Question

已知函数f（x）=3e^x-x²e^x-a在R上存在三个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[6e^-3，2e]
• B、（0，2e]
• C、（-6e^-3，0）
• D、（-6e^-3，2e）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=0，得a=3e^x-x²e^x，令h（x）=3e^x-x²e^x，求导数h′（x）=3e^x-2xe^x-x²e^x=-e^x（x+3）（x-1），由此求出函数f（x）在R上存在3个零点的a的范围．

解答： 解：令f（x）=0，
∴a=3e^x-x²e^x，
令h（x）=3e^x-x²e^x，
h′（x）=3e^x-2xe^x-x²e^x
=-e^x（x+3）（x-1），
∴x＜-3时，h′（x）＜0，
-3＜x＜1时，h′（x）＞0，
 x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（-3）=-6e^-3，
h（x）_max=h（1）=2e；
∴实数a的取值范围为：（-6e^-3，2e），
故选：D．

点评：本题考查函数最值的求法和函数存在3个零点时求a的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的应用．