Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁=

3

，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用,立体几何

分析：（Ⅰ）连接AD₁，易证AMC₁D₁为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD₁为z轴建立空间坐标系，易求C₁（-1，0，

3

），D₁，（0，0，

3

），M（

1

2

，

3

2

，0），

C1D1

=（1，1，0），

D1M

=（

1

2

，

3

2

，-

3

），设平面C₁D₁M的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），可求得

n1

=（0，2，1），而平面ABCD的法向量

n2

=（1，0，0），从而可求得平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）连接AD₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，∴CD

∥

.

C₁D₁，
又M为AB的中点，∴AM=1．
∴CD∥AM，CD=AM，
∴AM

∥

.

C₁D₁，
∴AMC₁D₁为平行四边形，∴AD₁∥MC₁，又MC₁?平面A₁ADD₁，AD₁?平面A₁ADD₁，
∴C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）解法一：∵AB∥A₁B₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴面D₁C₁M与ABC₁D₁共面，
作CN⊥AB，连接D₁N，则∠D₁NC即为所求二面角，
在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴CN=

3

2

，
在Rt△D₁CN中，CD₁=

3

，CN=

3

2

，
∴D₁N=

15

2

∴cos∠D₁CN=

NC

D1N

=

3 2

15 2

=

5

5

解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD₁为z轴建立空间坐标系

则C₁（-1，0，

3

），D₁，（0，0，

3

），M（

1

2

，

3

2

，0），
∴

C1D1

=（1，0，0），

D1M

=（-

1

2

，

3

2

，-

3

），
设平面C₁D₁M的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
则

x1=0 - 1 2 x1+ 3 2 y1- 3 z1=0

，∴

n1

=（0，2，1）．
显然平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），
cos＜

n1

，

n2

＞|=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

5

=

5

5

，
显然二面角为锐角，
∴平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．