Question

如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积．
附：锥体的体积公式V=

1

3

Sh，其中S为底面面积，h为高．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用V_D-BCG=V_G-BCD=

1

3

S△DCBh，即可求三棱锥D-BCG的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，
∴△ABC≌△DBC，
∴AC=DC，
∵G为AD的中点，
∴CG⊥AD．
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG=G，
∴AD⊥平面BGC，
∵EF∥AD，
∴EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
∴AO⊥平面BCD，
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO=ABsin60°=

3

，
∴V_D-BCG=V_G-BCD=

1

3

S△DCBh=

1

3

•

1

2

•BD•BC•sin120°×

3

2

=

1

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．