Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，求g_n（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N₊，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知g1(x)=

x

1+x

，g2(x)=g(g1(x))=

x 1+x

1+ x 1+x

=

x

1+2x

，g3(x)=

x

1+3x

…可得gn(x)=

x

1+nx

用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥

ax

1+x

恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）-

ax

1+x

（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得ln(1+x)＞

x

1+x

，x＞0，令x=

1

n

则ln

n+1

n

＞

1

n+1

，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．

解答： 解：由题设得，g(x)=

x

1+x

(x≥0)
（Ⅰ）由已知g1(x)=

x

1+x

，
g2(x)=g(g1(x))=

x 1+x

1+ x 1+x

=

x

1+2x

，
g3(x)=

x

1+3x

…
可得gn(x)=

x

1+nx

下面用数学归纳法证明．①当n=1时，g1(x)=

x

1+x

，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即gk(x)=

x

1+kx

，
那么n=k+1时，gk+1(x)=g(gk(x))=

gk(x)

1+ gk(x)

=

x 1+kx

1+ x 1+kx

=

x

1+(k+1)x

即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N₊成立．

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥

ax

1+x

恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）-

ax

1+x

（x≥0），则φ′（x）=

1

1+x

-

a

(1+x)2

=

x+1-a

(1+x)2

，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥

ax

1+x

恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a-1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a-1]上单调递减，
∴φ（a-1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥

ax

1+x

不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（-∞，1]．

（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

，
n-f（n）=n-ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n-ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln(n+1)，
在（Ⅱ）中取a=1，可得ln(1+x)＞

x

1+x

，x＞0，
令x=

1

n

则ln

n+1

n

＞

1

n+1

故有ln2-ln1＞

1

2

，
ln3-ln2＞

1

3

，…
ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，
上述各式相加可得ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

结论得证．

点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．