Question

已知函数f（x）=x³+3x|x-a|．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[0，2]内有极小值，且极小值不小于2a²-

3

4

a，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）将函数转化为分段函数，再利用导数确定函数的单调递增区间；
（2）由x∈[0，2]，比较a与0，2的大小将函数转化为分段函数；再逐段利用导数确定函数的单调性，从而确定函数的极小值．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f(x)=

x3+3x2- 3 2 x， (x≥ 1 2 ) x3-3x2+ 3 2 x，(x＜ 1 2 )

，f′(x)=

3x2+6x- 3 2 (x≥ 1 2 ) 3x2-6x+ 3 2 (x＜ 1 2 )

，
    解不等式组

3x2+6x- 3 2 ＞0 x＞ 1 2

得x＞

1

2

； 解不等式组

3x2-6x+ 3 2 ＞0 x＜ 1 2

得x＜

2- 2

2

．
∴f（x）的递增区间为(-∞，

2- 2

2

)和(

1

2

，+∞)．   
   （2）①当a≥2时，由0≤x≤2得f（x）=x³-3x²+3ax，f′（x）=3x²-6x+3a=3（x-1）²+3（a-1）＞0，
∴f（x）在区间[0，2]上递增，∴f（x）没有极值．
       ②当a≤0时，由0≤x≤2得f（x）=x³+3x²-3ax，f′（x）=3x²+6x-3a＞0，
∴f（x）在区间[0，2]上递增，∴f（x）没有极值．
       ③当1≤a＜2时，f(x)=

x3+3x2-3ax， (x≥a) x3-3x2+3ax，(x＜a)

，f′(x)=

3x2+6x-3a， (x≥a) 3x2-6x+3a， (x＜a)

，
∴f′(x)=

3x2+3x+3(x-a)＞0， (x≥a) 3(x-1)2+3(a-1)≥0， (x＜a)

，
∴f（x）在区间[0，2]上递增，∴f（x）没有极值．
 ④当0＜a＜1时，f(x)=

x3+3x2-3ax， (x≥a) x3-3x2+3ax，(x＜a)

，f′(x)=

3x2+6x-3a， (x≥a) 3x2-6x+3a， (x＜a)

，
 若x≥a，则 f′（x）=3x²+3x+3（x-a）＞0； 
若x＜a，由f′（x）=3x²-6x+3a＞0解得x＞1+

1-a

 或 x＜1-

1-a

，∴x＜1-

1-a

，
 由f′（x）=3x²-6x+3a＜0解得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

，∴1-

1-a

＜x＜a，
∴f（x）在区间(0，1-

1-a

)上递增，在区间(1-

1-a

，a)上递减，在区间（a，2）上递增．
∴当x=a时，f（x）取得极小值f（a）=a³，∴a3≥2a2-

3

4

a，解得0＜a≤

1

2

．
综上所述，实数a的取值范围为(0，

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数确定函数单调性与极值的方法．根据a是否在区间[0，2]内以及导数为0的点是否在区间[0，2]内是分类求解的基本依据，也是解决本题的关键所在．