Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，2

3

sin

A

2

cos

A

2

+2cos²

A

2

=3．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，cosC≠0，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）先利用倍角公式降幂，再利用两角和的正弦化简，然后结合A的范围求解A的值；
（2）利用两角和与差的正弦展开等式左边，右边展开二倍角正弦，化简后由角的关系得到边的关系，再结合余弦定理求得b，c的值，然后代入面积公式求面积．

解答： 解：（1）由2

3

sin

A

2

cos

A

2

+2cos²

A

2

=3．
得

3

sinA+cosA+1=3，即

3

sinA+cosA=2．
∴2(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)=1，
sin(A+

π

6

)=1．
∵A∈（0，π），
∴A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

3

；
（2）由sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，
得：sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC-cosBsinC=2sin2C．
2sinBcosC=4sinCcosC．
∴sinB=2sinC．
则b=2c  ①．
又a=

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，
得：(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

，
即b²+c²-bc=3  ②．
联立①②解得：b=2，c=1．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×1×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查了倍角公式，考查了余弦定理的应用，训练了三角形面积的求法，是中档题．