Question

在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

即可得出．

解答： （1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M(0，

1

2

，

1

2

)．
∴

AD

=（0，1，-1），

BC

=（1，1，0），

BM

=(0，

1

2

，

1

2

)．
设平面BCM的法向量

n

=（x，y，z），则

n • BC =x+y=0 n • BM = 1 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=-1，则x=1，z=1．
∴

n

=（1，-1，1）．
设直线AD与平面MBC所成角为θ．
则sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

=

2

3 × 2

=

6

3

．

点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．