Question

下列各组函数y=f（x）与y=g（x）在交点处有共同切线的是（　　）
①f（x）=x²-1，g（x）=lnx
②f（x）=3x²+1，g（x）=x³+3x
③f（x）=（x+1）²，g（x）=e^x
④f（x）=

x

，g（x）=

e

2

lnx．

• A、①②
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义即可得到切线的斜率及其交点坐标，再判断交点是否相同即可．

解答： 解：①f（x）=x²-1，g（x）=lnx．
设函数y=f（x）与y=g（x）的交点为P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=2x，g′(x)=

1

x

（x＞0），
若f′(x0)=g′(x0)，则2x0=

1

x0

，解得x0=

2

2

．
而f(

2

2

)=

1

2

-1=-

1

2

，g(

2

2

)=ln

2

2

=-

1

2

ln2，
∴f(

2

2

)≠g(

2

2

)，因此不符合条件，应舍去．
②f（x）=3x²-1，g（x）=x³+3x．
设函数y=f（x）与y=g（x）的交点为P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=6x，g′（x）=3x²+3，
若f′(x0)=g′(x0)，则6x0=3

x

2 0

+3，解得x₀=1．
又f（1）=3+1=4，g（1）=4
∴f（1）=g（1），因此符合条件．
③f（x）=（x+1）²，g（x）=e^x．
画出图象可知：f（x）与g（x）有三个交点，只有在x=0处的切线相同，
因此不符合题意应该舍去．
④f（x）=

x

，g（x）=

e

2

lnx．．
设函数y=f（x）与y=g（x）的交点为P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

e

2x

，（x＞0）
若f′(x0)=g′(x0)，则

1

2 x

=

e

2x

，解得x₀=e²．
而f（e²）=

e2

=e，g（e²）=

e

2

lne2=e
∴f（e²）=g（e²），因此符合条件．
综上可知：只有②④满足条件．
故选：B．

点评：本题考查了导数的几何意义和切线方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．