Question

如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=

7

，EA=2，∠ADC=

2π

3

，∠BEC=

π

3

．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设α=∠CED，
在△CDE中，由余弦定理得EC²=CD²+ED²-2CD•DEcos∠CDE，
即7=CD²+1+CD，则CD²+CD-6=0，
解得CD=2或CD=-3，（舍去），
在△CDE中，由正弦定理得

EC

sin∠EDC

=

CD

sinα

，
则sinα=

CD•sin 2π 3

EC

=

2× 3 2

7

=

21

7

，
即sin∠CED=

21

7

．
（Ⅱ）由题设知0＜α＜

π

3

，由（Ⅰ）知cosα=

1-sin2α

=

1- 21 49

=

2 7

7

，
而∠AEB=

2π

3

-α，
∴cos∠AEB=cos（

2π

3

-α）=cos

2π

3

cosα+sin

2π

3

sinα=-

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

7

14

，
在Rt△EAB中，cos∠AEB=

EA

BE

=

2

BE

，
故BE=

2

cos∠AEB

=

2

7 14

=4

7

．

点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．