Question

已知函数f（x）=x³-3x²+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x²-6x+a；f′（0）=a；
则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，
∵切线与x轴交点的横坐标为-2，
∴f（-2）=-2a+2=0，
解得a=1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x³-3x²+x+2，
设g（x）=f（x）-kx+2=x³-3x²+（1-k）x+4，
由题设知1-k＞0，
当x≤0时，g′（x）=3x²-6x+1-k＞0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1，g（0）=4，
当x＞0时，令h（x）=x³-3x²+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．
则h′（x）=3x²-6x=3x（x-2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，
∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，
g（-1）=k-1，g（0）=4，
则g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根．
∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，
∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．
综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．