Question

如图，在△ABC中，∠B=

π

3

，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=

1

7

．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=

1

7

，
∴sin∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

1-( 1 7 )2

=

48 49

=

4 3

7

，
则sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）=sin∠ADC•cosB-cos∠ADC•sinB=

4 3

7

×

1

2

-

1

7

×

3

2

=

3 3

14

．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD=

AB•sin∠BAD

sin∠ADB

=

8× 3 3 14

4 3 7

=3，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+CB²-2AB•BCcosB=8²+5²-2×8×5×

1

2

=49，
即AC=7．

点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．