Question

已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得
d=

a4-a1

3

=

12-3

3

=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…），
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，则
q³=

b4-a4

b1-a1

=

20-12

4-3

=8，∴q=2，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1，
∴b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∵数列{a_n}的前n项和为

3

2

n（n+1），数列{2^n-1}的前n项和为1×

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴数列{b_n}的前n项和为

3

2

n（n+1）+2ⁿ-1．

点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．