Question

如图，已知双曲线C：

x2

a2

-y²=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直线l：

x0x

a2

-y₀y=1与直线AF相交于点M，与直线x=

3

2

相交于点N．证明：当点P在C上移动时，

丨MF丨

丨NF丨

恒为定值，并求此定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意知，A（c，

c

a

），设B（t，-

t

a

），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=

3

，从而可得双曲线C的方程；
（2）易求A（2，

2 3

3

），l的方程为：

x0x

3

-y₀y=1，直线l：

x0x

a2

-y₀y=1与直线AF相交于点M，与直线x=

3

2

相交于点N，可求得M（2，

2x0-3

3y0

），N（

3

2

，

x0-2

2y0

），于是化简

丨MF丨

丨NF丨

=

| 2x0-3 3y0 |

1 4 +( x0-2 2y0 )2

可得其值为

2 3

3

，于是原结论得证．

解答： （1）解：依题意知，A（c，

c

a

），设B（t，-

t

a

），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴

c+t a

c-t

•

-1

a

=-1，

1

a

=

t

a(c-t)

，
整理得：t=

c

2

，a=

3

，
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y²=1；
（2）证明：由（1）知A（2，

2 3

3

），l的方程为：

x0x

3

-y₀y=1，
又F（2，0），直线l：

x0x

a2

-y₀y=1与直线AF相交于点M，与直线x=

3

2

相交于点N．
于是可得M（2，

2x0-3

3y0

），N（

3

2

，

x0-2

2y0

），
∴

丨MF丨

丨NF丨

=

| 2x0-3 3y0 |

1 4 +( x0-2 2y0 )2

=

2|2x0-3|

3 y02+(x0-2)2

=

2|2x0-3|

3 x02 3 -1+(x0-2)2

=

2|2x0-3|

3× |2x0-3| 3

=

2 3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．