Question

如图，已知两条抛物线E₁：y²=2p₁x（p₁＞0）和E₂：y²=2p₂x（p₂＞0），过原点O的两条直线l₁和l₂，l₁与E₁，E₂分别交于A₁、A₂两点，l₂与E₁、E₂分别交于B₁、B₂两点．
（Ⅰ）证明：A₁B₁∥A₂B₂；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l₁，l₂）与E₁、E₂分别交于C₁、C₂两点．记△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的面积分别为S₁与S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由题意设出直线l₁和l₂的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到

A1B1

，

A2B2

的坐标，然后由向量共线得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由题意可知，l₁和l₂的斜率存在且不为0，
设l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x．
联立

y=k1x y2=2p1x

，解得A1(

2p1

k12

，

2p1

k1

)．
联立

y=k1x y2=2p2x

，解得A2(

2p2

k12

，

2p2

k1

)．
联立

y=k2x y2=2p1x

，解得B1(

2p1

k22

，

2p1

k2

)．
联立

y=k2x y2=2p2x

，解得B2(

2p2

k22

，

2p2

k2

)．
∴

A1B1

=2p1(

1

k22

-

1

k12

，

1

k2

-

1

k1

)，

A2B2

=2p2(

1

k22

-

1

k12

，

1

k2

-

1

k1

)．

A1B1

=

p1

p2

A2B2

，
∴A₁B₁∥A₂B₂；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A₁B₁∥A₂B₂，
同（Ⅰ）可证B₁C₁∥B₂C₂，A₁C₁∥A₂C₂．
∴△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，
因此

S1

S2

=(

| A1B1 |

| A2B2 |

)2，
又

A1B1

=

p1

p2

A2B2

，
∴

| A1B1 |

| A2B2 |

=

p1

p2

．
故

S1

S2

=

p12

p22

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．