Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=-

1

2

x+m与椭圆交于A、B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C、D两点，且满足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解出即可．
（Ⅱ）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2

1-d2

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．由

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，即可解得m．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，
解得b=

3

，c=1，a=2．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．
∴圆心到直线l的距离d=

2|m|

5

，
由d＜1，可得|m|＜

5

2

．（*）
∴|CD|=2

1-d2

=2

1- 4m2 5

=

2

5

5-4m2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=- 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，
化为x²-mx+m²-3=0，
可得x₁+x₂=m，x1x2=m2-3．
∴|AB|=

[1+(- 1 2 )2][m2-4(m2-3)]

=

15

2

4-m2

．
由

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，得

4-m2 5-4m2

=1，
解得m=±

3

3

满足（*）．
因此直线l的方程为y=-

1

2

x±

3

3

．

点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．