Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），由|AB|=

3

2

|F₁F₂|．可得

a2+b2

=

3

2

×2c，再利用b²=a²-c²，e=

c

a

即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．可设椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

，

F1B

．利用圆的性质可得

F1B

⊥

F1P

，于是

F1B

•

F1P

=0，得到x₀+y₀+c=0，由于点P在椭圆上，可得

x 2 0

2c2

+

y 2 0

c2

=1．联立可得3

x

2 0

+4cx0=0，解得P(-

4

3

c，

c

3

)．设圆心为T（x₁，y₁），利用中点坐标公式可得T(-

2

3

c，

2

3

c)，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），
由|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得

a2+b2

=

3

2

×2c，化为a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．因此椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1．
设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
∵

F1B

⊥

F1P

，
∴

F1B

•

F1P

=c（x₀+c）+cy₀=0，
∴x₀+y₀+c=0，
∵点P在椭圆上，∴

x 2 0

2c2

+

y 2 0

c2

=1．
联立

x0+y0+c=0 x 2 0 +2 y 2 0 =2c2

，化为3

x

2 0

+4cx0=0，
∵x₀≠0，∴x0=-

4

3

c，
代入x₀+y₀+c=0，可得y0=

c

3

．
∴P(-

4

3

c，

c

3

)．
设圆心为T（x₁，y₁），则x1=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y1=

c 3 +c

2

=

2

3

c．
∴T(-

2

3

c，

2

3

c)，
∴圆的半径r=

(- 2 3 c)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．
∵直线l与圆相切，
∴

|- 2 3 ck- 2 3 c|

1+k2

=

5

3

c，
整理得k²-8k+1=0，解得k=4±

15

．
∴直线l的斜率为4±

15

．

点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．