Question

设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）若a₁=1，函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线在x轴上的截距为2-

1

ln2

，求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a_n，b_n，再利用错位相减求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：由已知得，b_n=2an＞0，
当n≥1时，

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=2^d，
∴数列{b_n}为首项是2a1，公比为2^d的等比数列；
（Ⅱ）解：f′（x）=2^xln2
∴函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线方程为y-2a2=2a2ln2（x-a₂），
∵在x轴上的截距为2-

1

ln2

，
∴a₂-

1

ln2

=2-

1

ln2

，∴a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n-4T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4n+1-4

3

-n•4ⁿ⁺¹=

(1-3n)4n+1-4

3

，
∴T_n=

(3n-1)4n+1+4

9

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．