Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）证明：AC=AB₁；
（Ⅱ）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间向量及应用

分析：（1）连结BC₁，交B₁C于点O，连结AO，可证B₁C⊥平面ABO，可得B₁C⊥AO，B₁0=CO，进而可得AC=AB₁；
（2）以O为坐标原点，

OB

的方向为x轴的正方向，|

OB

|为单位长度，

OB1

的方向为y轴的正方向，

OA

的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．

解答： 解：（1）连结BC₁，交B₁C于点O，连结AO，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，
∴BC₁⊥B₁C，且O为BC₁和B₁C的中点，
又∵AB⊥B₁C，∴B₁C⊥平面ABO，
∵AO?平面ABO，∴B₁C⊥AO，
又B₁0=CO，∴AC=AB₁，
（2）∵AC⊥AB₁，且O为B₁C的中点，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB₁两两垂直，
以O为坐标原点，

OB

的方向为x轴的正方向，|

OB

|为单位长度，

OB1

的方向为y轴的正方向，

OA

的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB₁=60°，∴△CBB₁为正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0，

3

3

），B（1，0，0，），B₁（0，

3

3

，0），C（0，-

3

3

，0）
∴

AB1

=（0，

3

3

，-

3

3

），

A1B1

=

AB

=（1，0，-

3

3

），

B1C1

=

BC

=（-1，-

3

3

，0），
设向量

n

=（x，y，z）是平面AA₁B₁的法向量，
则

n • AB1 = 3 3 y- 3 3 z=0 n • A1B1 =x- 3 3 z=0

，可取

n

=（1，

3

，

3

），
同理可得平面A₁B₁C₁的一个法向量

m

=（1，-

3

，

3

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

7

，
∴二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值为

1

7

点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．