Question

某同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x₁）=f（x₂），则恒有x₁=x₂；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立，
上述结论中所有正确的结论是（　　）

A．②③

B．②④

C．①③

D．①②④

Answer 1

分析：根据题意，以此分析命题：①函数f（x）的值域为（-1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；②可从反面考虑，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），可根据函数的解析式判断出其是一个增函数，；③与②的判断方法一样；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．

解答：解：①|x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=

x

1+|x|

是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一个增函数，故若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），
从而有若f（x₁）=f（x₂），则恒有x₁=x₂；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
假设n=k时，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，则n=k+1时，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．

点评：本题考查带绝对值的函数，函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．