Question

7．在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的直角距离为L（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
已知点A（x，1），B（1，2），C（5，3）．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据定义问题转化为解不等式|x-1|-|x-5|＞1，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）分离参数，问题转化为t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立，令f（x）=|x-1|-|x-5|，求出f（x）的最大值，从而求出t的最小值即可．

解答 解：（1）由定义得|x-1|+1＞|x-5|+2，即|x-1|-|x-5|＞1，
当x≥5时，不等式化为4＞1，解得x≥5；
当1＜x＜5时，不等式化为2x-6＞1，解得$\frac{7}{2}＜x＜5$；
当x≤1时，不等式化为-4＞1，无解；  故不等式的解集为$（\frac{7}{2}，+∞）$
（2）当x∈R时，不等式|x-1|+1≤t+|x-5|+2恒成立，也就是t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立，
函数令$f（x）=|{x-1}|-|{x-5}|=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x≤1}\\{2x-6，1＜x≤5}\\{4，x＞5}\end{array}}\right.$，所以f（x）_max=4，
要使原不等式恒成立只要t≥3即可，故t_min=3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．