Question

（2012•天津模拟）已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{

1

bn

}为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：当S=

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

20

时，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用由b_n=a_n-1及a_n-1=a_n（a_n+1-1），可得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，即可证明数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列；
（Ⅱ）先求得Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，进而可得T_n=S_2n-S_n═

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，利用作出比较法，即可得出结论．
（Ⅲ）用数学归纳法证明，先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，利用假设，证明当n=k+1时，不等式成立即可．

解答：证明：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列（4分）
（Ⅱ）∵

1

bn

=n，则bn=

1

n

．
∴Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

（6分）
∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+

n

2

=1+

1

2

，S2n=1+

1

2

，

1

2

+n=

1

2

+1，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，
那么当n=k+1时，S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≥1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1 2k+1 +…+ 1 2k+1

2k个

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

（12分）
S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≤

1

2

+k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜

1

2

+k+

1 2k +…+ 1 2k

2k个

=

1

2

+(k+1)
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N^*，不等式成立（14分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，正确求和，掌握数学归纳法的步骤．