Question

已知递增数列{a_n}满足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，n∈N⁺
①用数学归纳法证明：b_n≥a_n
②记…，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺）可知数列{a_n}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
由a₁，a₂，a₄成等比数可求d，进而可求通项
（2）①（i）当n=1时，b₁≥1=a₁成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即b_k≥a_k=k，由归纳假设证明n=k+1时，b_k+1≥a_k+1
②利用b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，推出，利用b_n≥n，得到
通过放缩与累加，证明出结果．
解答：解：（1）∵a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺）
∴数列{a_n}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a₁，a₂，a₄成等比数
∴（1+d）²=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴a_n=1+n-1=n
证明：（2）①∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，
（i）当n=1时，b₁≥1=a₁成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即b_k≥a_k=k
∴b_k+1≥k+1=a_k+1
当n=k+1时，b_k+1=-（k-2）b_k+3，
∴b_k+1-a_k+1=b_k+1-（b_k+1）=＞k²-k（k-1）+2＞0
∴b_k+1≥a_k+1
综上可证得，对于任意的正整数n，b_n≥a_n都成立
②∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，∴，
b_n²-（n-2）b_n+6=b_n（b_n+2-n）+6≥2b_n+6=2（b_n+3），（∵bn≥n）
∴，
∴…≤…①
∴……②，
①+②可得，
≤，
∴．
∴…
点评：本题主要考查了等差中项的应用，等差数列通项公式的求解，数列归纳法在证明数学不等式中的应用，及巧妙的放缩法在不等式的证明中的应用．不能放的太大，也不能缩小的太多．