Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

• A、{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}
• B、{x|x＜-2或0＜x＜2}
• C、{x|x＜-2或x＞2}
• D、{x|-2＜x＜0或x＞2}

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件知f（x）在（-∞，0）上是增函数，f（-2）=0，所以原不等式可变成

f(x)-f(-x)＞0 x＜0

，或

f(x)-f(-x)＜0 x＞0

，根据f（x）的单调性解这两个不等式组即得原不等式的解集．

解答： 解：原不等式变成：

f(x)-f(-x)＞0 x＜0

（Ⅰ），或

f(x)-f(-x)＜0 x＞0

（Ⅱ），
∵f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴在（-∞，0）上也是增函数；
又f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0；
∴解不等式组（Ⅰ）变成

2f(x)＞0=f(-2) x＜0

得-2＜x＜0，解不等式组（Ⅱ）变成

2f(x)＜0=f(2) x＞0

，解得0＜x＜2；
∴原不等式的解集是（-2，0）∪（0，2）．
故选：A．

点评：考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及分式不等式的解法，属于中档题．