Question

已知圆心C在直线x+2y=0上，与x轴相切于x轴下方，且截直线x+y=0所得弦长为2

2

．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与圆E：x²+（y-1）²=r²（r＞0）相切，求r的值；
（3）若直线y=kx与圆C交于M，N两点，O为坐标原点，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

分析：（1）利用垂径定理及圆的半径r、弦心距d、弦长l三者之间的关系r2=d2+(

l

2

)2可得r，即可；
（2）利用两圆相切的性质即可得出；
（3）利用数量积及其切割线定理即可．

解答：解：（1）设圆心C（-2a，a），则半径r=|a|．
点C到x+y=0的距离d=

|-2a+a|

2

．所以|a|2=(

2

)2+(

|a|

2

)2，解得a²=4，a=-2．
故圆方程为（x-4）²+（y+2）²=4．
（2）由C（4，-2），r₁=2，E（0，1）．则|CE|=5．
当圆C与圆E外切时，r+2=5，r=3；
当圆C与圆E内切时，|r-2|=5，r=7．
所以r=3或r=7．
（3）设圆C与x轴切于点P．
则

OM

•

ON

=|

OM

| |

ON

|cos0=|

OM

| |

ON

|=|

OP

|2=16．

点评：熟练掌握圆的性质及其标准方程、垂径定理及圆的半径r、弦心距d、弦长l三者之间的关系r2=d2+(

l

2

)2、两圆相切的性质、数量积及其切割线定理等是解题的关键．