Question

曲线y=

4

ex+1

上任意一点处的切线倾斜角为α，则α的范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出曲线解析式的导函数，根据基本不等式求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，根据正切函数的值域得到自变量α的范围．

解答： 解：求导数可得y′=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+ 1 ex +2

，
∵ex+

1

ex

≥2，
∴0≤y′≤1，
又∵0≤α≤π，
∴0≤α≤

π

4

．
故答案为：0≤α≤

π

4

．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．