Question

8．边长为3，4，5的三角形分别绕三边旋转后，求三个旋转体表面积的比．

Answer 1

分析 直角三角形的三边分别为3，4，5，绕边长为3或4的边旋转一周形成的几何体是圆锥，绕边长为5的边旋转一周形成的几何体是两个圆锥形成的组合体，分别求出表面积可得答案．

解答 解：直角三角形的三边分别为3，4，5，
绕边长为3的边旋转一周形成的几何体是圆锥，
且圆锥的高为3，底面圆的半径为4，母线长为5，
此时圆锥的表面积S=πr（r+l）=36π；
绕边长为4的边旋转一周形成的几何体是圆锥，
且圆锥的高为4，底面圆的半径为3，母线长为5，
此时圆锥的表面积S=πr（r+l）=24π；
绕边长为5的边旋转一周形成的几何体是两个圆锥形成的组合体，
两个圆锥的底面圆半径为$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，母线长分别为3和4，
此时两个圆锥的侧面积和S=πr（l₁+l₂）=$\frac{84}{5}π$，
故三个旋转体的表面积之比为：36π：24π：$\frac{84}{5}π$=15：10：7

点评 本题考查了由旋转母体求几何体的表面积，解题的关键是旋转母体判断几何体的形状及相关几何量的数据．