Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1）由函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1），可得 ，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为 （-1，1）．
（2）由于函数f（x）=log_a（1-x²），且定义域关于原点对称、满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数．
①当a＞1时，设x₂＞x₁＞0，则 ＞＞0，故 0＜1-＜1-，故log_a（1-）＜log_a（1-），
即f（x₂）＜f（x₁），故函数在（0，1）上是减函数．
再由偶函数的图象关于原点对称，可得函数在（-1，0）上是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，函数在（-1，0）上是减函数，函数在（0，1）上是增函数．
分析：（1）由函数f（x）的解析式可得 ，解得x的范围，可得函数的定义域．
（2）先判断函数为偶函数，当a＞1时，利用函数的单调性的定义证明函数在（0，1）上是减函数，再由偶函数的性质可得函数在（-1，0）上是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，函数在（-1，0）上是减函数，函数在（0，1）上是增函数．
点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．