Question

4．已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²变形、整理可知$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n-1}$=2，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}$=1为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²，
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1）=2（2n+1）（2n-1），
∴$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n-1}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}$=1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴数列{a_n}的通项a_n=（2n+1）（2n-1）=4n²-1；
（2）∵a_n=（2n+1）（2n-1），
∴b_n=$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求解方法，解题时要注意构造法和裂项求和法的合理运用．注意解题方法的积累，属于中档题．