Question

12．设α为锐角，若$cos（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{4}{5}$，求$sin（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 先求得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，再利用二倍角公式求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）和cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，可得$sin（2α+\frac{π}{12}）$=sin[（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：∵α为锐角，若$cos（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{4}{5}$，∴α+$\frac{π}{6}$为锐角，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$．
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）$-1=$\frac{7}{25}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{12}）$=sin（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17}{50}$$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正弦、余弦公式的应用，属于中档题．