Question

17．等差数列{b_n}中，b₃=5，b₅=9，数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n-1=b_n（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为a_n=n²．

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式先求出b_n，然后根据数列的递推关系利用累加法进行求解即可．

解答 解：由b₃=5，b₅=9得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=5}\\{{b}_{1}+4d=9}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，则b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵a_n-a_n-1=b_n（n≥2），
∴a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2），
则a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
…
a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2），
等式两边同时相加得：
a_n-a₁=3+5+…+（2n-1）=$\frac{（3+2n-1）（n-1）}{2}$=（n+1）（n-1）=n²-1，（n≥2），
则a_n=a₁+n²-1=1+n²-1=n²，
当n=1时，a₁=1满足a_n=n²，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，
故答案为：n²

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，结合等差数列的通项公式，利用累加法是解决本题的关键．