Question

9．等比数列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若等差数列{b_n}，b₁=a₅，b₈=a₂，求数列{b_n}前n项和S_n，并求S_n最大值和相应的n值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列通项公式求出首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}={2}^{4}=16}\\{{b}_{1}+7d=2}\end{array}\right.$，解得d=-2，S_n=16n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）=17n-n²，由此利用配方法能求出当n=8或n=9时，S_n最大值为S₈=S₉=72．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，a₅=16，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}{q}^{4}=16}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）∵等差数列{b_n}满足：b₁=a₅，b₈=a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}={2}^{4}=16}\\{{b}_{1}+7d=2}\end{array}\right.$，解得d=-2，
∴S_n=16n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）=17n-n²
=-（n-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{289}{4}$．
∴当n=8或n=9时，S_n最大值为S₈=S₉=72．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．