Question

14．已知函数f（x）=kx-lnx，k为实数且为常数．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，求k的值；
（2）若k=1，求f（x）的极值；
（3）若f（x）在（1，+∞）上单调递增的，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得导数，令x=1，可得切线的斜率，解方程可得k；
（2）求得函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而可得极值；
（3）由条件可得当x＞1时，f′（x）=k-$\frac{1}{x}$≥0，即k≥$\frac{1}{x}$，求得右边函数的值域，即可得到k的范围．

解答 解：（1）f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k-1=2，
解得k=3；
（2）k=1时，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则当x=1时，f（x）取得极小值，且为1，无极大值；
（3）函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴当x＞1时，f′（x）=k-$\frac{1}{x}$≥0，即k≥$\frac{1}{x}$，
由x＞1，则0＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴k≥1，
故k的范围为[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．