Question

10．小王大学毕业后进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件产品，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+x（万元）；在年产量不小于8万件时，W（x）=6x+$\frac{100}{x}$-38（万元），每件产品售价5元，通过市场分析，小王当年生产的产品能在当年全部售完，
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x万件的函数关系式
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．

解答 解：（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，
依题意得：
当0＜x＜8时，L（x）=5x-（$\frac{1}{3}$x²+x）-3=-$\frac{1}{3}$x²+4x-3，
当x≥8时，L（x）=5x-（6x+$\frac{100}{x}$-38）-3=35-（x+$\frac{100}{x}$），
∴L（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+4x-3，}&{0＜x＜8}\\{35-（x+\frac{100}{x}），}&{x≥8}\end{array}\right.$；
（2）当0＜x＜8时，L（x）=-$\frac{1}{3}$（x-6）²+9，
此时，当x=6时L（x）取得最大值9；
当x≥8时，L（x）=35-（x+$\frac{100}{x}$）
≤35-2$\sqrt{x•\frac{100}{x}}$=15（当且仅当x=$\frac{100}{x}$即x=10时取等号），
此时，当x=10时L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年产量为10万件时，这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．

点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．