Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0
①求角A的大小；
②若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A．
（2）由（1）所求A及S=$\frac{1}{2}$bcsinA可求bc，然后由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA可求b+c，进而可求b，c．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，
∴A=60°，
（2）由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$?bc=4，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即4=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
∴b+c=4，
解得：b=c=2．

点评 本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式．