Question

14．已知曲线y=5$\sqrt{x}$，求：
（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程；
（2）求过点P（0，5）且与曲线相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线与直线y=2x-4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x-4平行的切线的方程．
（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．

解答 解：（1）∵曲线方程为：y=5$\sqrt{x}$，
∴y′=$\frac{5}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{x}}$，
令y′=2，则x=$\frac{25}{16}$，
则曲线上与直线y=2x-4平行的切线的切点为：（$\frac{25}{16}$，$\frac{25}{4}$），
则曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程为：y-$\frac{25}{4}$=2（x-$\frac{25}{16}$），
即16x-8y+25=0，
（2）x=0满足题意；
x≠0时，设切点（a，5$\sqrt{a}$），则f′（a）=$\frac{5}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴切线方程为：y-5$\sqrt{a}$=$\frac{5}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{a}}$（x-a），
将点P（0，5）代入可得5-5$\sqrt{a}$=$\frac{5}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{a}}$（0-a），
∴a=4，
∴直线方程为：5x-4y+20=0，
综上，直线方程为：5x-4y+20=0或x=0．

点评 本题考查导数的几何意义，正确理解导数的几何意义是关键．