Question

3．已知2$\sqrt{2}$cos²$\frac{α}{2}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{11}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sinα；
（2）求tan（α-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角公式求得cos（α+$\frac{π}{4}$） 的值，可得 sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，再根据sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]，利用两角差的正弦公式计算求的结果．
（2）由（1）可得sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求得cosα 的值，可得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵已知2$\sqrt{2}$cos²$\frac{α}{2}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{11}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\sqrt{2}$cosα+1-$\sqrt{2}$sinα=$\frac{11}{5}$，
求得 cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴α+$\frac{π}{4}$为锐角，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos（α+\frac{π}{4}）}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（2）由（1）可得sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{7}$，
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{\frac{1}{7}-1}{1+\frac{1}{7}}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．