Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx+2的导函数的图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，求y=g（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中，函数f（x）=ax²+bx+2的导函数的图象，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）$g（x）=\frac{f（x）}{x}$=$x+\frac{2}{x}+1$，则$g′（x）=\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，分析导函数在各个区间上的符号，进而可得y=g（x）在[1，3]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=ax²+bx+2
∴f'（x）=2ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}f′（0）=b=1\\ f′（-\frac{1}{2}）=-a+b=0\end{array}\right.$
则a=b=1
∴f'（x）=2x+1，
故所求函数解析式为f（x）=x²+x+2．
（Ⅱ）$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{{{x^2}+x+2}}{x}=x+\frac{2}{x}+1$，
则$g'（x）=1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-2}}{x^2}=\frac{{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}}{x^2}$．
当$1≤x＜\sqrt{2}$时，g'（x）＜0；
当$\sqrt{2}≤x≤3$时，g'（x）＞0；
∵g（1）=4，$g（3）=\frac{14}{3}$，
∴g（1）＜g（3），
即$g{（x）_{max}}=g（3）=\frac{14}{3}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，导数法求函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．