Question

2．设P，Q是复平面上的点集，P={z||z-3i|=4}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}．
（1）P，Q分别表示什么曲线（指出形状、位置、大小）？
（2）设z₁∈P，z₂∈Q，求|z₁-z₂|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）设出复数z，代入||z-3i|=4可得P所表示的曲线，设出复数ω，z，由ω=2iz可得两复数实部和虚部的关系，再代入P可得Q所表示的曲线；
（2）由两圆的位置关系求得两圆上动点距离的最大值与最小值．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则由|z-3i|=4，得$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=4$，即x²+（y-3）²=16．
P表示以（0，3）为圆心，4为半径的圆；
设ω=x₁+y₁i（x₁，y₁∈R），z=x₀+y₀i∈p，（x₀，y₀∈R），且ω=2iz，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=-2{y_0}}\\{{y_1}=2{x_0}}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{2}{y}_{1}}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，代入${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-3）^{2}=16$，得$（{x}_{1}+6）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=64$，
故Q表示以（-6，0）为圆心，8为半径的圆．
（2）|z₁-z₂|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离．
又圆心距离$8-4＜|PQ|=3\sqrt{5}＜8+4$，
∴|z₁-z₂|的最大值为$12+3\sqrt{5}$，最小值为0．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了两圆间的位置关系，是中档题．