Question

3．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=t•5^n-2-$\frac{1}{5}$，则实数t的值为5．

Answer 1

分析 通过S_n=t•5^n-2-$\frac{1}{5}$可知a₁=$\frac{t-1}{5}$、a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4t•{5}^{n}}{125}$（n≥2），利用数列{a_n}为等比数列，通过$\frac{a2}{a1}$=5计算即得结论．

解答 解：∵S_n=t•5^n-2-$\frac{1}{5}$，
∴a₁=S₁=$\frac{t-1}{5}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{t•{5}^{n}}{25}$-$\frac{1}{5}$-（$\frac{t•{5}^{n}}{125}$-$\frac{1}{5}$）
=$\frac{4t•{5}^{n}}{125}$，
又∵数列{a_n}为等比数列，
∴q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=5，
∴$\frac{a2}{a1}$=5，即$\frac{\frac{4t}{5}}{\frac{t-1}{5}}$=$\frac{4t}{t-1}$=5，∴t=5，
故答案为：5．

点评 本题考查等比数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．