Question

11．给出下列四个命题：
①函数y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|x+2|-2}$为奇函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是（0，+∞）；
④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2^x）的定义域为[1，2]；
其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）①④．

Answer 1

分析 ①通过函数的定义域化简，得到y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，再由奇偶性的定义，即可判断；
②比如奇函数y=$\frac{1}{x}$的图象，即可判断；
③由定义域和指数函数的值域，即可判断；
④函数的定义域的定义：自变量x的取值集合，即可判断；

解答 解：①函数首先必须满足1-x²≥0，即-1≤x≤1，1≤x+2≤3，
则函数化简为y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，定义域为[-1，0）∪（0，1]，关于原点对称，
f（-x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），即函数为奇函数，故①正确，
②比如y=$\frac{1}{x}$是奇函数，大图象不过原点，故②错误；
③由于x≠0，则y≠1，函数y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是（0，1）∪（1，+∞）．故③错误；
④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则f（x）的定义域为[2，4]，令2≤2^x≤4，1≤x≤2，
则函数f（2^x）的定义域为[1，2]，故④正确；
故答案为：①④

点评 本题考查与函数有关的命题的真假判断，考查函数的奇偶性、单调性及运用，以及抽象函数的定义域问题．涉及的知识点较多，比较综合．